高二数学数系的扩充与复数的引入

数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，数学学习很重要，下面给大家带来高二数学数系的扩充与复数的引入相关练习检测题，大家可以做一做，对大家学习数学有帮助。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.复数z是实数的充分而不必要条件为(　　)

A.|z|=z　　　 B.z=z

C.z2是实数 D.z+z是实数

[答案]　A

[解析]　由|z|=z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|=z，如z=-2，此时|z|≠z，故|z|=z是z为实数的充分不必要条件，故选A.

2.(2010•湖北理，1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1+i的点是(　　)

A.E　　　　 B.F

C.G　　　　 D.H

[答案]　D

[解析]　由图可知z=3+i，

∴z1+i=3+i1+i=(1-i)(3+i)(1-i)(1+i)=4-2i2=2-i，对应复平面内的点H，故选D.

3.(2010•荷泽高二期中)化简2+4i(1+i)2的结果是(　　)

A.2+i B.-2+i

C.2-i D.-2-i

[答案]　C

[解析]　2+4i(1+i)2=2+4i2i=2-i.

4.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i、-2+i、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)

A.3+i B.3-i

C.1-3i D.-1+3i

[答案]　D

[解析]　在复平面内通过这四个点易知第四个顶点对应的复数为-1+3i.

5.(2010•新课标全国文，3)已知复数z=3+i(1-3i)2，则|z|=(　　)

A.14　　 　 B.12

C.1　　 　 D.2

[答案]　B

[解析]　由题知：z=3+i(1-3i)2=3+i-2-23i=(3+i)(-2+23)(-2-23i)(-2+23i)=-34+14i，可得|z|=(-34)2+(14)2=12，故选B.

6.当z=-1-i2时，z100+z50+1的值是(　　)

A.1 B.-1

C.i D.-i

[答案]　D

[解析]　原式=-1-i2100+-1-i250+1

=1-i2250+1-i2225+1

=(-i)50+(-i)25+1=-i.故应选D.

7.复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，则实数b=(　　)

A.2 B.12

C.-12 D.-2

[答案]　A

[解析]　(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数，∴2-b=02b+1≠0，∴b=2.

8.复数z=-1+i1+i-1，在复平面内z所对应的点在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

[答案]　B

[解析]　z=(-1+i)i(1+i)i-1=(-1+i)i-1+i-1=-1+i.

9.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1•z2是实数，则实数t等于(　　)

A.34 B.43

C.-43 D.-34

[答案]　A

[解析]　z1•z-2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因为z1•z2是实数，所以4t-3=0，所以t=34.因此选A.

10.已知复数z=1-i，则z2-2zz-1=(　　)

A.2i B.-2i

C.2 D.-2

[答案]　B

[解析]　∵z=1-i，

∴z2-2zz-1=-2i-2+2i1-i-1=-2-i=-2i，故选B.

11.若z=cosθ+isinθ(i为虚数单位)，则使z2=-1的θ值可能是(　　)

A.π6 B.π4

C.π3 D.π2

[答案]　D

[解析]　解法1：将选项代入验证即可.验证时，从最特殊的角开始.

解法2：z2=(cosθ+isinθ)2=(cos2θ-sin2θ)

+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ=-1，

∴sin2θ=0cos2θ=-1，∴2θ=2kπ+π(k∈Z)，

∴θ=kπ+π2(k∈Z)，令k=0知选D.

12.设复数z=lg(m2-1)+1-mi，z在复平面内的对应点(　　)

A.一定不在一、二象限

B.一定不在二、三象限

C.一定不在三、四象限

D.一定不在二、三、四象限

[答案]　C

[解析]　∵m2-1>01-m≥0，∴m<-1，此时lg(m2-1)可正、可负，1-m>2，故选C.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将正确答案填在题中横线上)

13.已知x+1x=-1，则x2006+1x2006的值为________.

[答案]　-1

[解析]　∵x+1x=-1，∴x2+x+1=0.

∴x=-12±32i，∴x3=1.

2006=3×668+2，x2006=x3×668+2=x2，

∴x2006+1x2006=x2+1x2=x+1x2-2=(-1)2-2

=-1.

14.若x、y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，则|x|+|y|=________.

[答案]　22

[解析]　∵x、y为共轭复数，∴x+y、xy∈R

由复数相等的条件有：(x+y)2=4-3xy=-6

设x=a+bi(a、b∈R)，则y=a-bi，

∴(2a)2=4a2+b2=2，∴|x|+|y|=2a2+b2=22.

15.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i，则实数x、y的值分别为________.

[答案]　x=1，y=1

[解析]　原式可以化为

(3y-2x)+(x-10y)i=1-9i，

根据复数相等的充要条件，有

3y-2x=1，x-10y=-9.解得x=1，y=1.

16.下列命题中，错误命题的序号是____________.

①两个复数不能比较大小;②z1，z2，z3∈C，若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0，则z1=z3;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1;④z是虚数的一个充要条件是z+z∈R;⑤若a，b是两个相等的实数，则(a-b)+(a+b)i是纯虚数;⑥复数z∈R的一个充要条件是z=z;⑦在复数集内，-1的平方根是±i;⑧z21+z22=0⇔z1=z2=0.

[答案]　①②③④⑤⑧

[解析]　①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小;②错误，当z1，z2，z3不全是实数时不成立，如z1=i，z2=1+i，z3=1时满足条件，但z1≠z3;③错误，当x=-1时，虚部也为零，是实数;④错误，此条件是必要非充分条件;⑤错误，当a=b=0时，是实数;⑥是正确的;⑦是正确的;⑧错误，如z1=i，z2=1满足i2+12=0，但z1≠0，z2≠0.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)复平面内有A、B、C三点，点A对应复数是3+i，向量AC→对应复数是-2-4i，向量BC→表示的复数是-4-i，求B点对应复数.

[解析]　∵CA→表示的复数是2+4i，

CB→表示的复数是4+i，

∴AB→表示的复数为(4+i)-(2+4i)=2-3i，

故OB→=OA→+AB→对应的复数为

(3+i)+(2-3i)=5-2i，

∴B点对应的复数为zB=5-2i.

18.(本题满分12分)已知(1+2i)z=4+3i，求z及zz.

[解析]　设z=a+bi，则z=a-bi(a，b∈R)

∴(1+2i)(a-bi)=4+3i

∴(a+2b)+(2a-b)i=4+3i

∴a+2b=42a-b=3，∴a=2，b=1，∴z=2+i，

∴z=2-i，

∴zz=2+i2-i=(2+i)25=35+45i.

19.(本题满分12分)虚数z满足|z|=1，z2+2z+1z<0，求z.

[解析]　设z=x+yi (x、y∈R，y≠0)，∴x2+y2=1.

则z2+2z+1z=(x+yi)2+2(x+yi)+1x+yi

=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i.

∵y≠0，z2+2z+1z<0，

∴2x+1=0，　　　　　①x2-y2+3x<0， ②

又x2+y2=1.　　　　 　③

由①②③得 x=-12，y=±32.

∴z=-12±32i.

20.(本题满分12分)已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2.

(1)求复数z;

(2)设z，z2，z-z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.

[解析]　(1)设z=a+bi(a，b∈R)，由已知条件得：a2+b2=2，z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2.

所以a=b=1或a=b=-1，即z=1+i或z=-1-i.

(2)当z=1+i时，z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i.所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，-1)，所以S△ABC=12|AC|×1=12×2×1=1.

当z=-1-i时，z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i.

所以点A(-1，-1)，B(0,2)，C(-1，-3)，所以S△ABC=12|AC|×1=12×2×1=1.即△ABC的面积为1.

21.(本题满分12分)已知复数z1，z2满足条件|z1|=2，|z2|=3，且3z1+2z2=6，求复数z1和z2.

[解析]　设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则a2+b2=4，c2+d2=9，由3z1+2z2=6，得(3a+2c)+(3b+2d)i=6，

由复数相等得3a+2c=6，3b+2d=0.

解方程组a2+b2=4，c2+d2=9，3a+2c=6，3b+2d=0，得a=1，b=3，c=32，d=-332，或a=1，b=-3，c=32，d=332.

所以z1=1+3i，z2=32-323i，或z1=1-3i，z2=32+323i.

22.(本题满分14分)已知复数z=(2x+a)+(2-x+a)i，x，a∈R，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式.

[解析]　|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.

令t=2x+2-x，则t≥2，且22x+2-2x=t2-2.

从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2，

当-a≥2，即a≤-2时，g(a)=a2-2;

当-a<2，即a>-2时，g(a)=(a+2)2+a2-2=2|a+1|.

综上可知，g(a)=a2-2　(a≤-2)，2|a+1|　(a>-2).

以上就是我们给大家带来的高二数学数系的扩充与复数的引入练习，数学学习中，做练习很重要，多做练习，同学们才能把数学掌握的更好。